アルゴリズム（Xエラーあり線形フィット）

フィッティングモデル

データセット $(X_i,Y_i), (\sigma x_i,\sigma y_i), i=1,2,\ldots n$ において、Xは独立変数、Yは従属変数で、 $(\sigma x_i,\sigma y_i)$ は、XとYのそれぞれ誤差です。「線形フィット：Xエラーあり」は、データを下記式のモデルにフィッティングします。

$y=\beta _0+\beta _1x+\varepsilon$	(1)
$\left\{\begin{matrix} x_i=X_i+\sigma x_i\\ y_i=Y_i+\sigma y_i \end{matrix}\right.$	(2)

フィット制御

計算法

York法

York法は、D. Yorkの計算手法で、Unified equations for the slope, intercept, and standard error of the best straight lineに述べられています。
FV法

Fitting straight lines with errors on both coordinates で述べているG. Fasano and R. Vio の計算方法を使います。
Deming法

Deming回帰法は変数誤差の最尤推定法で、X/Y 誤差は、独立で同一分布にしたがっていると仮定します。
XおよびYエラーの相関
XおよびYエラーの相関 $r_i$ (York法のみ）
X/Yの標準偏差
X/Yの標準偏差（Deming 法のみ）

値(York 法)

線形フィットを実行すると、分析レポートシートに計算された値が出力されます。パラメータ表には、モデルの傾きと切片（括弧内の数字は生成された値を示す）が表示されます。

フィットパラメータ

フィット値と標準誤差

xとyの重み（誤差）に関する $W_i$ を定義します。

$W_i = \frac{\sigma x_i\sigma y_i}{\sigma x_i+\beta_1^2\sigma y_i-2\beta_1 r_ia_i}$	(3)

このとき、 $r_i$ は、XとYの誤差の相関係数 (すなわち、 $\sigma x_i$ と $\sigma y_i$ )、および、 $a_i=\sqrt{\sigma x_i\sigma y_i}$ です。

重み付け（誤差）無しの $(X_i, Y_i)$ のフィット線の傾きは、 $\beta_1$ と $\beta_1$ の初期値になります。 $\beta_1$ が許容値になるまで、反復計算を行います。

X_Y付きの最も良いフィット線の推定パラメータ $\hat{\beta_0}$ および $\hat{\beta_1}$ の簡潔な方程式は、

$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$	(4)

$\hat{\beta_1}=\frac{\sum{W_ib_iV_i}}{\sum{W_ib_iU_i}}$	(5)

U および V はX および Yの偏差です。

$\left\{\begin{matrix} U=X-\hat{X}\\ V=Y-\hat{Y} \end{matrix}\right.$

および、

$b_i=W_i[\frac{U_i}{\sigma_{y_i}}+\frac{\hat{\beta_1}}{\sigma_{x_i}}{V_i}-(\beta U_i+V_i)\frac{r_i}{a_i}]$	(6)

パラメータの相関係数 $\sigma^2$ と標準誤差 $s$ は、

$\sigma_{\hat{\beta_0}}^2=\frac{1}{\sum{W_i}}+\bar{x}^2\sigma_{\hat{\beta_1}}^2$	(7)
$\sigma_{\hat{\beta_1}}^2=\frac{1}{\sum{W_iU_i^2}}$	(8)

パラメータとしての標準誤差は、次のように与えられます。

$\varepsilon_{\hat{\beta_0}}=\sqrt{\sigma _{\hat{\beta_0}}^2}\sqrt{\frac{S}{n-2}}$	(9)

$\varepsilon_{\hat{\beta_1}}=\sqrt{\sigma _{\hat{\beta_1}}^2}\sqrt{\frac{S}{n-2}}$	(10)

ここで $S$ は、

$S=\sum W_i(Y_i-bX_i-a)^2$	(11)

t値と信頼水準

回帰の前提から次式があります。

$\frac{{\hat \beta _0}-\beta _0}{\varepsilon _{\hat \beta _0}}\sim t_{n^{}-1}$ および $\frac{{\hat \beta _1}-\beta _1}{\varepsilon _{\hat \beta _1}}\sim t_{n^{}-1}$	(12)

フィッティングパラメータが0ではないことを調べるためにt 検定を使うことができます。これは、 $\beta _0= 0\,\!$ (真ならば、フィット直線が原点を通る) または $\beta _1= 0\,\!$ であるかどうかを検定します。t 検定の仮説検定は次のようになります。

$H_0 : \beta _0= 0\,\!$ $H_0 : \beta _1= 0\,\!$

$H_\alpha : \beta _0 \neq 0\,\!$ $H_\alpha : \beta _1 \neq 0\,\!$

The t-values can be computed by:

$t_{\hat \beta _0}=\frac{{\hat \beta _0}-0}{\varepsilon _{\hat \beta _0}}$ および $t_{\hat \beta _1}=\frac{{\hat \beta _1}-0}{\varepsilon _{\hat \beta _1}}$	(13)

計算されたt 値を使って、対応する帰無仮説を棄却するかどうかを決めることができます。通常、与えられた有意水準 $\alpha\,\!$ に対して、 $|t|>t_{\frac \alpha 2}$ のときに $H_0 \,\!$ を棄却できます。また、 p値または有意水準が t検定と一緒に出力されます。p値が $\alpha\,\!$ より小さい場合、帰無仮説 $H_0 \,\!$ を棄却することができます。

Prob>|t|

上記のt 検定の $H_0 \,\!$ が真である確率

$prob=2(1-tcdf(\|t\|,df_{Error}))\,\!$	(14)

ここでtcdf(t, df) は、自由度 df を持つスチューデントt分布の下側の確率を計算します。

LCLとUCL

t値から各パラメータの $(1-\alpha )\times 100\%$ 信頼区間を次式で計算することができます。

$\hat \beta _j-t_{(\frac \alpha 2,n^{}-k)}\varepsilon _{\hat \beta _j}\leq \hat \beta _j\leq \hat \beta _j+t_{(\frac \alpha 2,n^{}-k)}\varepsilon _{\hat \beta _j}$	(15)

ここで $UCL$ と $LCL$ は、それぞれ上側信頼区間と下側信頼区間のことです。

CI 半幅

信頼区間の半値幅は以下の通りです。

$CI=\frac{UCL-LCL}2$	(16)

ここでUCLとLCLは、それぞれ上側信頼区間と下側信頼区間です。

詳細については、以下の参考文献 1 をご覧ください。

フィット統計

自由度

$df=n-2$	(17)

nは、ポイントの全数です。

残差平方和

$RSS=\sum^n_{i=1} \frac{(\beta_0+\beta_1x_i-y_i)^2}{\sigma^2_{yi}+\beta_1^2\sigma^2_{xi}}$	(18)

自由度あたりカイ二乗

$\sigma^2=\frac{RSS}{n-2}$	(19)

ピアソンのｒ

単純な線形回帰では、xとyの相関係数は、r で表され、次の式に等しくなります。

$r=-R\,\!$ $\beta _1\,\!$ が負の場合
$r=R\,\!$ $\beta _1\,\!$ が正の場合	(20)

$R^2$ これは次式のように計算されます。

$TSS=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2$
$R^2=\frac{SXY}{SXX*TSS}=1-\frac{RSS}{TSS}$	(21)

Root MSE(SD)

誤差の平均平方の平方根または、残差標準偏差は、次式に等しくなります。

$df_{Error}=n-2$
$RootMSE=\sqrt{\frac{RSS}{df_{Error}}}$	(22)

共分散行列と相関行列

線形回帰の共分散行列は次のように計算されます。

$\begin{pmatrix} Cov(\beta _0,\beta _0) & Cov(\beta _0,\beta _1)\\ Cov(\beta _1,\beta _0) & Cov(\beta _1,\beta _1) \end{pmatrix}=\sigma ^2\frac 1{SXX}\begin{pmatrix} \sum \frac{x_i^2}n & -\bar x \\-\bar x & 1 \end{pmatrix}$	(23)

2つのパラメータ間の相関は、

$\rho (\beta _i,\beta _j)=\frac{Cov(\beta _i,\beta _j)}{\sqrt{Cov(\beta _i,\beta _i)}\sqrt{Cov(\beta _j,\beta _j)}}$	(24)

値 (FV法)

Fitting straight lines with errors on both coordinates で述べているG. Fasano and R. Vio の計算方法を使います。

重みは、次のように定義されます。

$W_i=\frac{1}{\beta_1^2\sigma {x_{i}}^2+\sigma {x_{i}}^2}$	(25)

重み付け（誤差）無しの $(X_i, Y_i)$ のフィット線の傾きは、 $\beta_1$ です。

次のようにします。

$\bar{x}=\frac{\sum{W_ix_i}}{\sum W_i}$	(26)
$\bar{y}=\frac{\sum{W_iy_i}}{\sum W_i}$	(27)

合計 $K^2=\sum{W_i (y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)}$ を最小化し、部分微分を0に設定して、値 $\beta_0$ と $\beta_1$ を得ることができます。

$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$	(28)
$a\hat{\beta_1}^2+b\hat{\beta_1}-c=0$	(29)

ここで

$a=\sum{W_i^2\sigma x_i^2(y_i-\bar{y_i})(x_i-\bar{x_i})}$	(30)
$b=\sum{W_i^2[\sigma y_i^2(x_i-\bar{x_i})^2-\sigma x_i^2(y_i-\bar{y_i})^2]}$	(31)
$c=\sum{W_i^2\sigma y_i^2(y_i-\bar{y_i})(x_i-\bar{x_i})}$	(32)

$\hat{\beta_1}$ が許容値になるまで、 $\hat{\beta_1}$ に反復計算が行われます。

それぞれのパラメータの標準誤差については、線形回帰モデルを参照してください。

詳細については、以下の参考文献 2 をご覧ください。