アルゴリズム (二元配置分散分析)
二元配置分散分析(Two-Way ANOVA)の理論
/math-24e1348a922751ccbd4fc0a55d9f6ca8.png "y_{ij,k}\,\!") を因子AのレベルI と因子Bのレベル j でのk番目の観測値を表すものとすると、二元配置分散分析モデルは下記のように書くことができます。
/math-0effb5dfe043214d3b87ff3ca0b1e4d4.png "y_{ij,k}=\mu +\alpha _i+\beta _j+\gamma _{ij}+\varepsilon _{ij,k}")
ここで、/math-74b8eddf4b37de80c7c8eed1b64e46fc.png "\mu \,\!") は反応データ全体の平均、/math-d015b015788a3872acceec61ded52bfb.png "\alpha _i\,\!") は因子Aのレベル I での偏差、/math-193f021d9028eb9706698a6f5c0f1e0a.png "\beta _j\,\!") は因子Bのレベル j での偏差、/math-4893dd2481ae10c24164553d3930b4b6.png "\gamma _{ij}\,\!") は2つの因子間の交互作用で、/math-2d8e26c124bbaaff2975eca997214c41.png "\varepsilon _{ij,k}\,\!") は誤差項です。そして、標本の変化は、3つの部分に分けられ、3つの仮説検定を行うことができます。
ですから、因子Aに関しては、帰無仮説はrの異なる母集団の平均が同じとし、対立仮説は、少なくとも1つの標本の平均が、他とは異なるということになります。
/math-c33acaa27b66cec3e5a477ef1a4ec7ec.png "H_{01}:\alpha _1=\alpha _2=\ldots =\alpha _r=0")
/math-1bcb49c656d9c9add5863d0330032e26.png "H_{A1}:\alpha _p\neq \alpha _q") のとき、いくつかの p とq において, pは1と等しくなく、qはrと等しくありません。
ですから、因子Bに関しては、帰無仮説はsの異なる母集団の平均が同じとし、対立仮説は、少なくとも1つの標本の平均が、他とは異なるということになります。
/math-b0c76e650b839f11332fb55bc4916f4a.png "H_{02}:\beta _1=\beta _2=\ldots =\beta _s=0")
/math-7a89b6844c46c8800f73742ac898bdbc.png "H_{A2}:\beta _p\neq \beta _q") のとき、いくつかの p とq において, pは1と等しくなく、qはsと等しくありません。
交互作用の項に対して、帰無仮説は、2つのファクター間の交互作用が無いということです。
/math-e7658574652ff84922c7e45311aa9711.png "H_{03}:\gamma _1=\gamma _2=\ldots =\gamma _{rs}=0")
/math-caba9da65b46245805574ee743414b93.png "H_{A3}:\gamma _p\neq \gamma _q") のとき、いくつかの p とq において, pは1と等しくなく、qはrsと等しくありません。
これらの仮説を検定するため、標本全体を4つの部分に分け、標本の変化で推定します。
/math-2c795d2f616da7e117502bbcf9cb9a87.png "SS_{Total}=SS_{Error}+SS_A+SS_B+SS_{AB}\,\!")
ここで
/math-47e7f804f075b9c157584ec06cce79cd.png "SS_{Total}=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(y_{ij,k}-\bar y)^2")
/math-df8189819caf3b152811459af23977f2.png "SS_{Error}=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(y_{ij,k}-\bar y_{ijm})^2")
/math-af748babfd23e3bfd39704d86135daa5.png "SS_A=st\sum_{i=1}^r(\bar y_{imm}-\bar y)^2")
/math-07adec886e53b88c568666a7f5ad66d9.png "SS_B=rt\sum_{j=1}^s(\bar y_{mjm}-\bar y)^2")
/math-472bd2d14aa56baec128037732f9c276.png "S_{AB}=t\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s(\bar y_{ijm}-\bar y_{imm}-\bar y_{mjm}+\bar y)^2")
すると、次の値を得ることができます。
/math-74c3be6091d315b1d45889451f08c9f1.png "\bar y=\frac 1{rst}\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^ty_{ij,k}")
/math-8c782727576bb980e6cef0ccfd682cdf.png "\bar y_{ij}=\frac 1t\sum_{k=1}^ty_{ij,k}")
/math-2ae3b31c7b66edb18f543169b3f2c9fa.png "\bar y_{imm}=\frac 1{st}\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^ty_{ij,k}")
/math-6b23df9fc156465fe8f63b0c088432ec.png "\bar y_{mjm}=\frac 1{rt}\sum_{i=1}^r\sum_{k=1}^ty_{ij,k}")
/math-100f5db42fc55631c7b4e798218f6a8f.png "SS_{Total}") は合計二乗和、 /math-8d95f5934baa7c353f18fd77c675e92c.png "SS_A") は因子Aからの平均差の変化、/math-8abe5e40ad8ae7fd4ed12d2d27a1a7dd.png "SS_B") は因子Bからの平均の変化をそれぞれ表します。そして、 /math-23d40e491f33023cbce6ed1898054a81.png "SS_{AB}") は交互作用の変化を、/math-349fb0475e9b16a6353bbc1aae235e6a.png "SS_{Error}") ははすべての個別の標本の変化を表します。そして、 F 検定はそれらの間の分散の有意差を検定するのに使います。
/math-fd17c1de0001a4efd8b9a0c82993d061.png "F_A=\frac{MS_A}{MS_{Error}}=\frac{SS_A/(r-1)}{SS_{Error}/(rs(t-1))}\sim F_\alpha (r-1,rs(t-1))")
/math-44845adb89d0b9dd10565f5ff22f742a.png "F_B=\frac{MS_B}{MS_{Error}}=\frac{SS_B/(s-1)}{SS_{Error}/(rs(t-1))}\sim F_\alpha (s-1,rs(t-1))")
/math-57af428ccc9c055f5a80fdc87089b1c2.png "F_{AB}=\frac{MS_{AB}}{MS_{Error}}=\frac{SS_{AB}/((r-1)(s-1))}{SS_{Error}/(rs(t-1))}\sim F_\alpha ((r-1)(s-1),rs(t-1))")
ある有意水準/math-7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08.png "\alpha") が与えられると、 F 統計量が重要な値/math-61ee10cfeb9c8fea41d940edebb82588.png "F_\alpha") を超える場合、またはF統計量のP値が有意水準以下の場合、帰無仮説/math-e65765bedcabe42c66ec93228769e82a.png "H_0") は棄却されます。
二元配置分散分析の計算は以下のようにまとめることができます。
| 分散の入力 |
自由度 (DF) |
平方和 (SS) |
平均平方 (MS) |
F 値 |
Prob > F |
| 因子A |
r - 1 |
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/math-d8cf712091994539169b7f92bcabdd67.png "MS_A") |
/ /math-ff8dc369a4b279c7e064cb1ef6fc4ba1.png "MS_{Error}") |
/math-336e88336f1a211d0c3f3e2f533edff3.png "P\{F\geq F_{(r-1,rs(t-1),\alpha )}\}") |
| Factor B |
s - 1 |
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/math-666cadb9e58dc0e560e052a20e3a510f.png "MS_B") |
/ |
/math-b9560f30879a8b17bbee7eebd41b9efa.png "P\{F\geq F_{(s-1,rs(t-1),\alpha )}\}") |
| 交互作用 |
(r- 1) (s - 1) |
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/math-bcd1cd8741b39cdd8c3e290f145ae5a1.png "MS_{AB}") |
/ |
/math-50ceeeecbb0c9e5fec9e00f101ebad0c.png "P\{F\geq F_{((r-1)(s-1),rs(t-1),\alpha )}\}") |
| Error |
rs (t - 1) |
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| 合計 |
rst - 1 |
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Originの二元配置分散分析は、いくつかのNAG関数を使っています。NAG関数 nag_dummy_vars (g04eac)は、必要な形の行列を作成し、NAG関数nag_regsn_mult_linear (g02dac) は、必要な形の線形回帰を実行します。線形回帰の結果は、二元配置ANOVA表を作成するのに使われます。詳細はNAG文書をご覧ください。
複数の平均比較
少なくとも1つのファクターレベルの平均が統計的に他のファクターレベルの平均と異なることを調べる二元配置ANOVAを実行すると、それに続けて、平均が異なるかどうかすべてのファクターでの可能な組合せで、平均の比較が行われます。Originでは、平均比較にさまざまな方法があり、これはNAG関数のnag_anova_confid_interval (g04dbc)を使って行っています。
複数の平均の比較法の2種類がOriginに含まれています。
シングルステップ法これは、Tukey-Kramer, Bonferroni, Dunn-Sidak, Fisher’s LSD, Scheffé, Dunnettを含む、平均がどの程度違うのかを示すために信頼区間を作成します。
ステップワイズ法Holm-Bonferroni 、Holm-Sidak 検定を含む仮説検定を実行します。
検出力解析
検出力分析は、サンプルデータに対する仮説の検出力だけでなく、実際の検出力を計算します。
二元配置ANOVAの検出力は、その敏感度の計測です。検出力は、ANOVAが実際の差があるときの標本の平均の差を検出するものです。帰無仮説および対立仮説に関して、検出力は検定する統計量 F が、実際に帰無仮説を棄却すべき(例：与えられた帰無仮説が真でない)ときに、帰無仮説を棄却するのに十分であるという確率です。
Originの二元配置ANOVAダイアログは、因子A および因子B に対する検出力を計算します。「交互作用」チェックボックスが選択されている場合、OriginはA*Bの交互作用に対して、検出力を計算することが出来ます。
検出力は次式で定義されます。
/math-e3a9b7f790e5b9b01d2fe974337ea4cf.png "power=1-probf(f,df,dfe,nc)\,\!")
ここで f は、非中心の F-分布の偏りで、このF分布は自由度df および dfe と nc = SS/MSEを持ちます。SS はA, B, A*Bの二乗和で、 MSEは誤差の平均平方、 df は元のA, B, A*Bに関しての分子の自由度、 dfe は誤差の自由度です。全ての値(SS, MSE, df, dfe) は、ANOVA表で取得できます。probf( ) の値が、NAG関数nag_prob_non_central_f_dist (g01gdc)を使って取得されます。詳細はNAG文書をご覧ください。
上記は、簡単な一元配置ANOVAのアルゴリズムの概要であり、詳細な数学的な演算については、このマニュアルの対応する部分やNAG文書を参照してください。
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