アルゴリズム (weibullfit)


下記の場合、 n\,\!の実現には、ワイブル分布からのy_i \,\! 、 値 x_i \,\! が観測されます。x_i\leq y_i \,\!

2つの状況があります。

次の場合、観測値を正確に指定します。x_i=y_i \,\!

次の場合、下限によって知ることができる右側の打ち切り値を指定します。x_i<y_i \,\!

ワイブル分布の確率密度関数は、尤度に対して正確に指定した観測値の寄与となり、次の式で与えられます。

f(x:\theta ,c,\sigma )=\frac c\sigma (\frac{x-\theta }\sigma )^{c-1}\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!

ワイブル分布の生存関数は、尤度に対して右側の観測値の寄与となり、次の式で与えられます。

S(x;c,\sigma )=\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!

ここで、 \theta\,\! 切片パラメータはしきい値パラメータと呼ばれ、c \,\! は、ワイブルの形状パラメータであり、  \sigma \,\! は、ワイブルのスケールパラメータです。

 n\,\! の観測のd\,\!が、 i\in D \,\!で正確に指定され、示されれば、 残りの (n-d) \,\! 観測値は、右側打ち切り値となります。そして、尤度関数 Like(c,\sigma) \,\! が次のように与えられます。

Like(c,\sigma )=(\frac c\sigma )^d(\coprod_{i\in D}(\frac{x_i-\theta }\sigma )^{c-1})\exp (-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c) \,\!

カーネル尤度関数は次式で与えられます。

L(c,\sigma )=d\log (\frac c\sigma )+(c-1)\sum_{i\in D}\log (\frac{x_i-\theta }\sigma )-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c \,\!

派生値 \frac{\partial L}{\partial c} \,\!,\frac{\partial L}{\partial \sigma } \,\!,\frac{\partial ^2L}{\partial c^2} \,\!,\frac{\partial ^2L}{\partial \sigma \partial c} \,\!, \frac{\partial ^2L}{\partial \sigma ^2} \,\! は、それぞれ L_1 \,\!,L_2 \,\! ,L_{11} \,\! ,L_{12} \,\! ,L_{22} \,\!  で表され、最大尤度の見積値、 \widehat{c} \,\! および \widehat{\sigma } \,\! は、次の数式の階です。:L_1(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\! および L_2(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\!

\widehat{c} \,\! および \widehat{\sigma } \,\! の漸近標準誤差の見積もりは、次の式で与えられます。

se(\widehat{c})=\sqrt{\frac{-L_{22}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\! および se(\widehat{\sigma })=\sqrt{\frac{-L_{11}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\!

\widehat{c}\,\!および\widehat{\sigma } \,\!の相関係数の見積もりは、 次の式で与えられます。\frac{L_{12}}{\sqrt{L_{11}L_{22}}} \,\!