アルゴリズム(偏相関係数)

偏相関係数は、調整変数が存在するときの2つの変数間の関係を説明するために使用されます。

偏相関係数

$n_y$ ランダム変数Yのセットと $n_x$ 調整変数Xで、2つの変数XとYを統合すると、その分散共分散行列は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} \Sigma_{xx} & \Sigma_{xy} \\ \Sigma_{yx} & \Sigma_{yy} \end{pmatrix}$

調整変数XのY変数の分散共分散行列は、以下で与えられます。

$\Sigma_{y|x} = \Sigma_{yy}-\Sigma_{yx}\Sigma_{xx}^{-1}\Sigma_{xy}$

偏相関係数は以下のように計算されます。

$\text{diag}(\Sigma_{y|x})^{-1/2} \Sigma_{y|x} \text{diag}(\Sigma_{y|x})^{-1/2}.$

偏相関係数がゼロという帰無仮説の検定に、t検定を使用できます。

自由度は、

$df=n-n_x-2$

ここでnは、完全相関の計算における観測値の数です。欠損値のペアワイズ削除において、与えられた調整変数Xの2つの変数 $Y_i, Y_j$ の偏相関の計算でnはXの対の中と $(Y_i, Y_j), (Y_i, X), (Y_j, X)$ の対の中の観測値の最小の数です。

t統計量は、

$t = |r| \sqrt{ \frac {df} {1-r^2} }$

ここで r は偏相関係数です。

両端の有意水準レベル $\text{Prob}>|t|$ は以下のように計算されます。

$2(1 - \text{tcdf}(t, df)).$

Morrison, D. F. (1976), Multivariate Statistical Methods, Second Edition, New York:McGraw-Hill.
nag_partial_corr (g02byc)

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