アルゴリズム (Mann-Whitney検定)

2つの独立した標本 $F(x)\,$ と $G(y)\,$ について、サンプルサイズが $n_1\,\!$ および $n_2\,\!$ であると考えます。サンプルデータはそれぞれ $x_1,x_2,\ldots ,x_{n_1}\,\!$ および $y_1,y_2,\ldots ,y_{n_1}\,\!$ と表します。

帰無仮説 : $H_0: F(x) = G(y)\,$ と表し、2つの分布は同じです。これは対立仮説 $H_1\,$ に対して検定が実行されます。内容としては、

$H_1: F(x) \neq G(y)\,$ ;または

$x\,$ の傾向が $y\,$ よりも大きくなる場合、 $H_1: F(x) < G(y)\,\!$ ;または

$x\,$ の傾向が $y\,$ よりも小さくなる場合、 $H_1: F(x) > G(y)\,\!$

検定手順は以下のステップのようになります。

$x_i \,\!$ と $y_i\,\!$ を1つのグループに組み合わせます。
それらを昇順で順位付けします。同順位のものは、それらの順位の平均を受け取ります。 $r_{1i}\,\!$ を $x_i \,\!$ に割り当てられる順位( $i=1,2,\ldots ,n_1$ において)と、 $y_i\,\!$ に割り当てられる順位( $j=1,2,\ldots ,n_2$ において)とします。
順位の合計を計算します。

$S_1=\sum_{I=1}^{n_1}r_{1i}\,\!$ , および $S_2=\sum_{I=1}^{n_2}r_{2j}\,\!$ です。
検定する統計量 $U\,$ は次のように表すことができます。

$U=S_1-\frac{n_1(n_1+1)}2\,$
おおよその一般検定統計量 $z\,$ は次のように計算されます。

$z=\frac{U-M(U)\pm \frac 12}{\sqrt{Var(U)}} \,$

ここで

$M(U)=\frac{n_1n_2}2 \,$

および

$Var(U)=\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}-\frac{n_1n_2}{(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}\times TS \,$

ここで

$TS=\sum_{j=1}^\tau \frac{(t_j)(t_j-1)(t_j+1)}{12}\,$ .

$\tau \,$ は、標本内で同順位の数で、 $t_j\,$ は、j 番目のグループの同順位数です。
同順位が存在しない場合、 $U \,$ の分散は $\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\,$ のようになります。