Algorithmen (Glättung)
Smooth-Algorithm
Das bewegliche Fenster der Methoden Gleitender Durchschnitt, Savitzky-Golay oder Rangordnungsfilter
Wenn die Glättungsmethode der gleitende Durchschnitt, Savitzky-Golay oder der Rangordnungsfilter ist, wird jeder geglättete Datenpunkt aus den Datenpunkten innerhalb eines beweglichen Fensters berechnet Angenommen, /math-e1e6230760a8fc9ebc5517bbe56756ea.png "\left\{f_i| i = 1,2,...,N\right\}") sind die Eingabedatenpunkte und /math-cbf2a8ae7d00ceaa3a438a13f080810a.png "\left\{g_i|i = 1,2,...,N\right\}") bezeichnen die Ausgabedatenpunkte. Jedes /math-91d8947f9447751708c1f4107beb7ab3.png "g_i") wird berechnet aus /math-2d0012d8e86e7519e3d6bcbcc68b10db.png "\left\{f_m|i - floor(npts/2) < m < i + floor(npts/2)\right\}")
wobei npts der Wert der Variable Punkte des Fensters ist.
Bei Verwendung der Glättungsmethode FFT-Filter wird jedoch kein bewegliches Fenster verwendet. Stattdessen wird das gesamte Signal verarbeitet.
Die Methode des gleitenden Durchschnitts
Die Methode des gleitenden Durchschnitts führt die einfachste mögliche Mittelwertbildung durch: Jeder ist der Durchschnitt der Datenpunkte innerhalb des beweglichen Fensters. Wenn die Option Gewichteter Durchschnitt verwendet wird, wird der Durchschnitt mit Hilfe der gewichteten Mittelwertbildung berechnet. In diesem Fall wird eine parabolische Gewichtung verwendet, wobei der Gewichtungsbereich auf 1 normiert wird. Für ein Fenster, dessen Mitte in i liegt (d.h., der i-te gemittelte Punkt wird berechnet), beträgt die Gewichtung, die dem j-ten Punkt (j=0, 1, ... npts-1) entspricht:
/math-fd200c5c25b7b7843b83b864f39daef2.png "w_j=1-(\frac{(j-i)}{(N+1)/2})^2")
wobei N die Anzahl der Punkte des Fensters ist.
Die Savitzky-Golay-Methode
Die Savitzky-Golay-Methode führt eine polynomielle Regression für die Datenpunkte in dem beweglichen Fenster durch. wird dann als der Wert des Polynoms bei Position i berechnet.
Die Methode des Rangordnungsfilters
Für den Rangordnungsfilter wird das p-te Quantil der Punkte in dem beweglichen Fenster als zugeordnet, wobei p durch den Parameter Perzentil festgelegt wird. Das p-te Quantil (oder 100 p-te Perzentil) wird aus der empirischen Verteilungsfunktion folgendermaßen berechnet:
Es sei /math-7ae8e6c1c298971d77efadc3dad1752c.png "npts\cdot p/100=j+g")
wobei j der ganzzahlige Teil von /math-a0c7f13b2f9f06d3210a4130a92e4caa.png "npts\cdot p/100") und g der Bruchteil davon ist.
Dann kann das p-te Quantil, das mit y bezeichnet wird, mit folgenden Gleichungen berechnet werden:
/math-4aee7d1b3d1dbd0413eea75e0db28d4f.png "y= \begin{cases} x_j, & \mbox{if }g=0 \\ x_{j+1}, & \mbox{if }g>0 \end{cases}")
wobei /math-1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.png "x_j") der j-te (j=0, 1, ... npts-1) Punkt in dem beweglichen Fenster ist.
Die Methode des FFT-Filters
Wenn die Methode des FFT-Filters ausgewählt ist, führt Origin Folgendes durch:
- Berechnen Sie den Mittelwert des ersten 1% Datenpunkte und den Mittelwert des letzten 1% Datenpunkte.
- Erstellen Sie eine gerade Linie durch diese zwei Punkte und subtrahieren Sie die Eingabedaten mit dieser Linie.
- Führen Sie eine FFT für den im letzten Schritt erhaltenen Datensatz durch.
- Wenden Sie die Filterung mit dem parabolischen Tiefpass-Filter auf die transformierten Daten, die sich im letzten Schritt ergaben, an. Die Fourier-Komponenten mit Frequenzen, die höher sind, als die Grenzfrequenz werden entfernt. Die Grenzfrequenz wird definiert als:
/math-8a6ec61a846152b8540507019900a780.png "f_{cutoff} = \frac {1}{2n\Delta t}")
wobei n die festgelegten Punkte des Fensters sind und /math-5a72f1304af0783657605aed0e38201a.png "\Delta t") der Zeitabstand (oder allgemeiner die Abszisse) zwischen zwei nebeneinander liegenden Datenpunkten ist. Größere Werte des n Ergebnisses in unteren Grenzfrequenzen und daher ein größerer Glättungsgrad. Die transformierten Daten werden mit einem einseitigen Fenster multipliziert, so dass die obenstehende Formel weiter durch 2 geteilt wird, um einem zweiseitigen Fenster zu entsprechen.
Die Funktion, die verwendet wird, um hochfrequente Komponenten abzuschneiden, ist eine Parabel mit einem Maximum von 1 bei der Nullfrequenz, die bei der Grenzfrequenz auf Null abfällt.
- Führen Sie eine IFFT für das gefilterte Spektrum durch.
- Fügen Sie die Basislinie zu dem Datensatz hinzu, den Sie im letzten Schritt erhalten haben.
Die Lowess- und Loess-Methode
Die Abkürzungen Lowess und Loess stehen für "locally weighted scatterplot smoothing" bzw. "locally weighted least squares", etwa "lokal gewichtete Glättung von Punktdiagrammen" bzw. "lokal gewichtete kleinste Quadrate". Es wird von "lokal" gesprochen, weil jeder geglättete Wert mit Hilfe der Nachbarpunkte berechnet wird, die sich innerhalb eines bestimmten Datenbereichs von Werten befinden. Diese Methode wird klassisch mit folgenden Schritten durchgeführt:
- Berechnen Sie die Gewichtungen für einen zentralen Punkt
/math-1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png "x_i") und alle Nachbarpunkte innerhalb des Datenbereichs mit Hilfe der trikubischen Gewichtungsfunktion...
/math-d2de986db2dcdfead9130a94deacc948.png "w_i(x)=(1-(\frac{|x-x_i|}{d_i})^3)^3") wobei /math-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png "x") ein Nachbarpunkt innerhalb des mit dem aktuellen Zentrum verbundenen Datenbereichs ist, und /math-d247f594c78d0d2be10fc6d82512cc4e.png "d_i") die Distanz entlang der Abszisse (X-Achse) von bis zum am weitesten entfernt liegenden Nachbarpunkt innerhalb des Datenbereichs ist.
- Führen Sie die gewichtete Regression der kleinsten Quadrate durch.
- Für Lowess wird eine gewichtete lineare Regression verwendet.
- Für Loess wird eine polynomielle Regression zweiter Ordnung verwendet.
- Ermitteln Sie den prognostizierten Wert
/math-aeb3b53d344586a9c3e0ec0829777ae7.png "(x_i,\hat{y}_i)") , der in Schritt 2 für gegeben ist.
- Verschieben Sie zum nächsten Punkt
/math-84ceb2513893acb7c9ea001cc9053995.png "x_{i+1}") und führen Sie dann Schritt 1-3 durch, um den vorhergesagten Wert /math-d845615daf118601c7a2d6719f7d165e.png "(x_{i+1},\hat{y}_{i+1})") zu erhalten. Die Berechnung ist beendet, wenn alle Punkte berechnet sind.
Die Binomialmethode
Der Binomialfilter ist ein gewichteter Filter des gleitenden Durchschnitts. /math-e447c37303aa003c6e1b9992045ddfda.png "{x_n}") seien die Eingabequelldaten und /math-83c66063e0d9b8864bd422ee8386d59f.png "{y_n}") die geglätteten Ausgabedaten.
/math-ceebc9dfaa7e3ac79481ea2adf795b92.png "y_n=\sum_{k=-N_p}^{Np}b_kx_{n-k}")
Die Sequenz der geglätteten Koeffizienten /math-e23e5c6178fcede4de9a9673bf51cfd7.png "b_k") wird gegeben durch:
/math-da59a8657b40db814c19a032fb1f0f9b.png "b_k=\begin{pmatrix} 2N_p\\ N_p+k \end{pmatrix}/4^{N_p}\; \; (k=0,1,...N_p)")
und
/math-d32b55686a350cbec96b05c8c8be3bbb.png "b_{-k}=b_{k}")
/math-766b775dcac93fa1cf6f6b365212665f.png "N_p") ist die Ordnung.
Grenzfrequenz
Die Grenzfrequenz /math-e05fe30750d3ea262a610d17ebc07019.png "fc") wird berechnet mit:
/math-42d1e7ee57aef355b30eddda869213a7.png "fc=\frac{2}{\pi}arccos(Ac^{1/2N_p})\frac{fs}{2}")
/math-54c355936eabc80c15d1dcbc2e697d0d.png "fs=\frac{1}{dt}")
/math-3017d911efceb27d1de6a92b70979795.png "dt") ist das Abtastintervall. /math-8819a837186918b90b59cc316f36b1e1.png "Ac") ist die Grenzamplitude bei -6dB, /math-57caf3aa6efe351c51c785be280b5c0d.png "Ac=0.5") . Die Grenzfrequenz nimmt bei aufsteigender Ordnung ab.
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