InverseMath-Inverse
Beschreibung
Die X-Funktion minverse erzeugt eine inverse Matrix, indem Sie die Adjunkte durch ihre Determinante teilt. Wenn Matrizen keine Inversen oder Determinanten haben, wird eine Moore-Penrose-Pseudoinverse berechnet. Zugriff auf diese Funktion über die Bedienoberfläche:
- Öffnen Sie eine neue Matrix mit Daten.
- Aktivieren Sie die Matrix.
- Wählen Sie Analyse: Mathematik: Inverse, um den Dialog minverse zu öffnen.
Dialogoptionen
Neu berechnen |
Bedienelemente zur Neuberechnung der Analyseergebnisse
Weitere Informationen finden Sie unter Analyseergebnisse neu berechnen.
|
Eingabematrix |
Legen Sie die Eingabematrix fest. Hilfe zum Festlegen von Bereichen finden Sie hier: Eingabedaten festlegen
|
Ausgabematrix |
Legen Sie fest, wo die inverse Matrix ausgegeben wird. Hilfe zum Festlegen der Bereiche finden Sie unter: Ergebnisse ausgeben
|
Algorithmus
Für eine Quadrat- und Rangmatrix von erfüllt die inverse Matrix , die auch als reziproke Matrix bezeichnet wird, wird folgendes Verhältnis: ![AA\!^{-1}=A\!^{-1}\!A=I\! AA\!^{-1}=A\!^{-1}\!A=I\!](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/de/UserGuide/images/Inverse/math-6a9aac74134b750a6bc6671bdcc928b6.png)
wobei die Identitätsmatrix ist. Die Berechnung von kann ausgedrückt werden mit: ![A^{-1}=\frac 1{|A|}A^{*} A^{-1}=\frac 1{|A|}A^{*}](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/de/UserGuide/images/Inverse/math-ccca32a44a20105af429e4e6ee442c3c.png)
wobei die Determinanten der Matrix meint, und die Adjunkte ist von ![A^*=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} A^*=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/de/UserGuide/images/Inverse/math-ee9072d3478106204239e83a3f94a34d.png)
![a_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}|A^{ij}| a_{ij}=\left( -1\right) ^{i+j}|A^{ij}|](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/de/UserGuide/images/Inverse/math-a8ad444678353bea3d7f251ae7188976.png)
wobei die Matrix ist, indem die Spalte und Zeile aus entfernt wird. Wenn Matrizen keine Inversen oder Determinanten haben, wird eine Moore-Penrose-Pseudoinverse berechnet. Sie existiert für jede Matrix. Bei einer gegebenen Matrix , ist die eindeutige pseudoinverse Matrix. Wenn und A vollen Rang haben, dann erfüllt Folgendes: ![A\!^{+}=(A^TA)\!^{-1}A\!^T A\!^{+}=(A^TA)\!^{-1}A\!^T](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/de/UserGuide/images/Inverse/math-249c385060aeb209c741b2c37a08ed64.png)
Die Berechnung basiert auf einer singulären Wertzerlegung (SVD) der Matrix . Jeder singuläre Wert innerhalb der Toleranz wird als Null behandelt. Wenn der Rang von nicht voll ist, schrumpft die Matrix zu einer kleineren Matrix.
Referenzen
- 1. E. H. Moore: On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920).
- 2. Roger Penrose: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955).
|