下記の場合、
/math-e3c0cbf91ece024841ff9fdb38694186.png "n\,\!")
の実現には、ワイブル分布からの/math-6ce07c4566b882f5b04c4fd4ec104550.png "y_i \,\!")
、 値 /math-b714d71dd0cdb2c881fae49429ac19db.png "x_i \,\!")
が観測されます。/math-27744114b47bd9ef390e92b76574d035.png "x_i\leq y_i \,\!")
下記の場合、の実現には、ワイブル分布からの 、 値 が観測されます。
2つの状況があります。
次の場合、観測値を正確に指定します。/math-e154fe4295c6340907dbb51128201755.png "x_i=y_i \,\!")
次の場合、下限によって知ることができる右側の打ち切り値を指定します。/math-9d9289175fcc3610c2f8f470c38f4780.png "x_i<y_i \,\!")
ワイブル分布の確率密度関数は、尤度に対して正確に指定した観測値の寄与となり、次の式で与えられます。
/math-0cd981b980541daefd7c750a14da1f4a.png "f(x:\theta ,c,\sigma )=\frac c\sigma (\frac{x-\theta }\sigma )^{c-1}\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!")
ワイブル分布の生存関数は、尤度に対して右側の観測値の寄与となり、次の式で与えられます。
/math-f5005cef56de6bfe17a790062a747ef2.png "S(x;c,\sigma )=\exp (-(\frac{x-\theta }\sigma )^c),x>\theta ,\;for\;c,\sigma >0 \,\!")
ここで、 /math-eda199874d89f6beec2062820f4b61c9.png "\theta\,\!")
切片パラメータはしきい値パラメータと呼ばれ、/math-79ce6cdd2db95f0db5cefeeadc51b5bc.png "c \,\!")
は、ワイブルの形状パラメータであり、 /math-596589cfba308c784b8a5b3f8919ff44.png "\sigma \,\!")
は、ワイブルのスケールパラメータです。
の観測の/math-a3fd7097926ade7405b7390b2e5ec4af.png "d\,\!")
が、 /math-a15b88855e8100619588ea57a7263edf.png "i\in D \,\!")
で正確に指定され、示されれば、 残りの /math-a2ed284e0ed3505ce0b4c57148c8cc9e.png "(n-d) \,\!")
観測値は、右側打ち切り値となります。そして、尤度関数 /math-3c15a48d811c9ede164e29bbfad740bb.png "Like(c,\sigma) \,\!")
が次のように与えられます。
/math-ef581caa6bbddde71d94ccd736703921.png "Like(c,\sigma )=(\frac c\sigma )^d(\coprod_{i\in D}(\frac{x_i-\theta }\sigma )^{c-1})\exp (-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c) \,\!")
カーネル尤度関数は次式で与えられます。
/math-e52aca194ac7cf0c814164cc05487575.png "L(c,\sigma )=d\log (\frac c\sigma )+(c-1)\sum_{i\in D}\log (\frac{x_i-\theta }\sigma )-\sum_{i=1}^n(\frac{x_i-\theta }\sigma )^c \,\!")
派生値 /math-cfc693d2ea1d1f2b883f97d834a00d8f.png "\frac{\partial L}{\partial c} \,\!")
,/math-12ed5e98f08d91979c6d4010a27847e0.png "\frac{\partial L}{\partial \sigma } \,\!")
,/math-d37536fa5f81d9c755553bf553c7715a.png "\frac{\partial ^2L}{\partial c^2} \,\!")
,/math-80437f55c93fa9394fd38030ba93265e.png "\frac{\partial ^2L}{\partial \sigma \partial c} \,\!")
, /math-3d321d44a3f8f24281598bd1e42b5c07.png "\frac{\partial ^2L}{\partial \sigma ^2} \,\!")
は、それぞれ /math-c9db0818268102735575605d2e53818c.png "L_1 \,\!")
,/math-c21b34a55d751464f855b7b9abca0fd1.png "L_2 \,\!")
,/math-f46a681edb663ec30e93cd4964e6e6a3.png "L_{11} \,\!")
,/math-01a887bdd494ffb5960adf403c1434e6.png "L_{12} \,\!")
,/math-6dd5f68208fb1d4b7385218c441b13c4.png "L_{22} \,\!")
で表され、最大尤度の見積値、 /math-fb5213ebc765e346c619e447a0d85cb5.png "\widehat{c} \,\!")
および /math-c064f955ca038366c16a6100a3090ea8.png "\widehat{\sigma } \,\!")
は、次の数式の階です。:/math-4de64a974da3b6ef5335728b39e38af1.png "L_1(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\!")
および /math-d3b73c0d4da8bfebd3e66284c4d32b55.png "L_2(\widehat{c},\widehat{\sigma })=0 \,\!")
および の漸近標準誤差の見積もりは、次の式で与えられます。
/math-05426c0f1964584836a47c6ebe00580a.png "se(\widehat{c})=\sqrt{\frac{-L_{22}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\!")
および /math-184a54cc28b4a05b7d3de913331ad65e.png "se(\widehat{\sigma })=\sqrt{\frac{-L_{11}}{L_{11}L_{22}-L_{12}^2}} \,\!")
/math-34e3a22fc702ec4461ac776139dd07cd.png "\widehat{c}\,\!")
および/math-daaaa0a22ff76a70ab86e7bf0c2c6b1b.png "\widehat{\sigma } \,\!")
の相関係数の見積もりは、 次の式で与えられます。/math-c22c7847d807c5f84bf61871a4b1889a.png "\frac{L_{12}}{\sqrt{L_{11}L_{22}}} \,\!")